लघुगणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation)

परिचय

जब किसी फलन (Function) को सामान्य अवकलन नियमों द्वारा हल करना कठिन हो — जैसे जब चर (Variable) आधार और घातांक दोनों में हों — तो हम लॉगरिदमिक अवकलन का प्रयोग करते हैं। यह विधि लॉगरिदम (Logarithm) के नियमों पर आधारित होती है, जो जटिल फलनों को सरल करके उनके अवकलज निकालने में मदद करती है

  लघुगणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation) क्या है?

जब हम किसी जटिल फलन का अवकलन करते हैं, तो पहले दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (logarithm) लेते हैं और फिर अवकलन करते हैं।

चरण (Steps)

1. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लॉग लें: ln y = ln(f(x))
2. लॉगरिदम के नियमों का उपयोग करके दाहिने पक्ष को सरल करें
3. दोनों पक्षों का अवकलन करें (Implicit Differentiation)
4. अंत में, y को पुनः मूल फलन से बदलकर dy/dx प्राप्त करें

उदाहरण 1: y = x^x

ln y = ln(xx) = x ln x
अब, दोनों पक्षों का अवकलन करें:
(1/y) · dy/dx = ln x + 1
⇒ dy/dx = y(ln x + 1) = xx(ln x + 1)

उदाहरण 2: y = (x² + 1)^x

ln y = x ln(x2 + 1)
⇒ d/dx(ln y) = ln(x2 + 1) + x · (2x / (x2 + 1))
⇒ dy/dx = (x2 + 1)x [ln(x2 + 1) + (2x2 / (x2 + 1))]

उदाहरण 3: y = x^{sin x}

ln y = sin x · ln x
⇒ d/dx(ln y) = cos x · ln x + sin x · (1/x)
⇒ dy/dx = xsin x [cos x · ln x + (sin x)/x]

उदाहरण 4: y = (x³ + 1)⁵ · √(x² + 4)

ln y = 5 ln(x3 + 1) + (1/2) ln(x2 + 4)
अब, अवकलन करें:
(1/y) dy/dx = 5 · (3x2 / (x3 + 1)) + (1/2) · (2x / (x2 + 4))
⇒ dy/dx = y · [ (15x2 / (x3 + 1)) + (x / (x2 + 4)) ]
⇒ अंतिम उत्तर:
dy/dx = (x3 + 1)5 · √(x2 + 4) · [ (15x2 / (x3 + 1)) + (x / (x2 + 4)) ]

उदाहरण 5: y = ((x² + 1)³) / ((x – 1)²)

ln y = 3 ln(x2 + 1) - 2 ln(x - 1)
अब अवकलन करें:
(1/y) dy/dx = (3 · 2x) / (x2 + 1) - (2 / (x - 1))
⇒ dy/dx = ((x2 + 1)3 / (x - 1)2) · [ (6x / (x2 + 1)) - (2 / (x - 1)) ]

लॉगरिदमिक सूत्र

• ln(ab) = ln a + ln b
• ln(a/b) = ln a - ln b
• ln(an) = n ln a

अभ्यास प्रश्न

1. y = (3x + 2)^{tan x} का अवकलन करें
2. y = (x² + 3)^{ln x} का अवकलन करें
3. y = ((x² – 1)⁵ · √(x + 1)) / (x³ + 1)² का अवकलन करें

निष्कर्ष

लॉगरिदमिक अवकलन एक शक्तिशाली तकनीक है, जिसका प्रयोग तब किया जाता है जब सामान्य अवकलन नियमों से फलन हल नहीं होते। यह विधि लॉग के नियमों द्वारा जटिल फलनों को सरल बनाकर उनका अवकलन प्राप्त करने में सहायक होती है।